Grote opdracht RW

Veranderingen en benaderingen

Naar de bouwstenen van deze grote opdracht

Relevantie

We hebben in de wereld te maken met verschillende ingrijpende veranderingen, zoals de veranderende migratiestromen en klimaatverandering. Om in complexe situaties veranderingen te analyseren en door te rekenen zijn er wiskundige technieken beschikbaar, die soms ook veranderingen kunnen voorspellen. In eenvoudige gevallen zijn deze technieken met pen en papier uit te voeren met exacte uitkomsten als resultaat. Digitale hulpmiddelen geven in veel gevallen een benadering van een uitkomst. Deze benadering is vaak zo nauwkeurig dat het verschil met een exacte uitkomst nauwelijks waar te nemen is.

Inhoud

Technieken om veranderingen te analyseren zijn toenamediagrammen en differentiaalrekening. Benaderingstechnieken zijn schatten en afronden, interpoleren (wanneer had Nederland ongeveer 8 miljoen inwoners?), extrapoleren (wanneer heeft Nederland 20 miljoen inwoners?) en inklemmen. Ook kent numerieke wiskunde (het onderdeel van wiskunde dat zich bezighoudt met benaderend rekenen) talrijke benaderingstechnieken. Met schattingen en benaderingen zijn antwoorden te vinden op praktische vragen (heb ik genoeg saldo om deze boodschappen te pinnen?) en complexe problemen waarin je aannamen moet doen (investeer ik in zonnepanelen?). Leerlingen leren (zonder en met digitale hulpmiddelen) wiskundige technieken toe te passen voor schattingen en benaderingen. Daarbij is (enige) kennis van numerieke wiskunde van belang. Te denken valt hierbij aan het effect van (tussentijdse) afrondingen en van meetfouten.

Uitwerking in kennis en vaardigheden (bouwstenen)

Titel van de bouwsteen Primair onderwijs Onderbouw VO Bovenbouw VO

Veranderingen

RW06.1 - Lees de hele bouwsteen

Deze bouwsteen hangt samen met:

RW06.1 - Veranderingen

Links naar samenhangende bouwstenen


Toelichting samenhang

Nederlands: 1.2 Interactie ten behoeve van taal- en denkontwikkeling
Leerlingen gebruiken school- en vaktaal bij het verwoorden van consequenties van veranderingen en het beschrijven van het verloop van een grafiek met vaktermen.
(NE: Leerlingen leren school- en vaktaal bij het verwoorden van veranderingen)

Mens & Natuur: 4.2 Systemen
Leerlingen leren effecten van veranderingen op systemen te beschrijven en te berekenen.
(MN: Om effecten van veranderingen op systemen te beschrijven en te berekenen, is kennis van en inzicht in veranderingen nodig.)

Leerlingen leren voorbeelden te geven van veranderingen en uit te leggen wat het betekent als aantallen toe- of afnemen. Ze leren uit representaties te bepalen welke verandering zichtbaar is.

RW06.1 - Veranderingen - Primair Onderwijs

Fase 1 (onderbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de eerste leerjaren van het primair onderwijs wordt een basis gelegd als het gaat om veranderingen, de nadruk ligt echter in het voortgezet onderwijs. Het gaat hier vooral om het herkennen van veranderingen en hierover te communiceren en redeneren. Een kind helpt mee tafeldekken en weet dat er elke dag vier mensen aan tafel zitten, maar als er twee mensen meer komen eten dan weet het ook dat er van alles twee meer nodig zijn: twee borden, bekers, messen en vorken. Zo ook als er minder mensen aan tafel zullen zitten. Het kind ervaart al op jonge leeftijd wat het betekent als aantallen af- of toenemen.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • het herkennen van veranderingen en hierover te communiceren en redeneren, te denken aan het voorbeeld van tafeldekken;
  • in eenvoudige beelddiagrammen trends herkennen en beschrijven met dagelijkse termen als groter worden, kleiner worden, gelijk blijven, enzovoorts.

Fase 2 (bovenbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs worden de activiteiten uit de onderbouw voortgezet. De nadruk ligt nog steeds in het voortgezet onderwijs. In eerste instantie leren de leerlingen aan de hand van een model, zoals een grafiek of een tabel bij een situatie te bepalen welke verandering zichtbaar is. De leerlingen leren kritisch te denken en te redeneren over deze verandering, bijvoorbeeld: 'Wat betekent het als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil loopt?'

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • verandering in een representatie van een verband (grafiek, tabel, beschrijving) te herkennen en te verwoorden, te denken valt aan: af- en toename, stijgen, dalen, constant, groei, verdubbelen, halveren;
  • dat verandering in de ene representatie van een verband (grafiek, tabel, beschrijving) doorwerkt in de andere vorm(en). Te denken valt aan: als de voorrijkosten gelijk blijven en het uurtarief toeneemt, dan wordt de grafiek die het totale bedrag weergeeft, steiler;
  • absolute en relatieve veranderingen van elkaar te onderscheiden en er over te redeneren. Te denken valt aan: De korting op een product is € 30,- óf 30%. Als dat product € 60,- kost, welke korting kies je dan?

Leerlingen krijgen zicht op de betekenis en weergave van de verandering van een verband.

RW06.1 - Veranderingen - Onderbouw VO

Fase 3 (onderbouw voortgezet onderwijs)

Inleiding

De essentie van deze bouwsteenset ligt in deze fase. Hier krijgen leerlingen zicht op de betekenis en weergave van de verandering van een verband.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • onderscheid te maken tussen vaste en variabele componenten in een situatie. Te denken valt aan een telefoonabonnement waarbij bellen binnen de bundel tegen een vaste prijs plaatsvindt en bellen buiten de bundel tegen een tarief per minuut, sms of MB;
  • het verloop van een grafiek te beschrijven met termen als toe- en afnemend, stijgend, dalend, steeds herhalend, minimum, maximum, lineair, constant, periodiek, [havo, vwo] exponentieel;
  • het effect van een verandering bij een verband in één van de representaties weer te geven in elk van de andere representaties, ook met digitaal gereedschap;
  • aan te geven welk soort gedrag een grootheid in de tijd vertoont in concrete situaties. Te denken valt aan gelijkmatige groei (= lineair gedrag) of [havo, vwo] exponentiële groei. Ze leren voorbeelden te geven van wat de bijbehorende verandering voorstelt (plaats en snelheid, temperatuur en afkoelingsgradiënt);
  • extreme waarden van een verband te bepalen als die weergegeven worden in een grafiek of een tabel;
  • [kgt, havo, vwo] de richtingscoëfficiënt van een lineair verband in verband te brengen met het veranderingsgedrag van de afhankelijke grootheid en [havo, vwo] dat andersoortige verbanden voor elke waarde van x een raaklijn met een richtingscoëfficiënt kennen;
  • [vwo] dat exponentiële verbanden op lange termijn altijd sneller groeien dan lineaire en machtsverbanden;
  • [vwo] bij een grafiek een toenamediagram te tekenen en een hellinggrafiek te tekenen met behulp van digitale gereedschappen.

In deze kolom vindt u aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs per bouwsteen van het leergebied. Het ontwikkelteam doet ook algemene aanbevelingen, zie bovenaan deze pagina.

Het leergebied Rekenen & Wiskunde doet algemene aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

RW06.1 - Veranderingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Deze bouwsteenset kent in de bovenbouw van havo en vwo een uitgebreid vervolg.

  • [havo] Schenk bij wiskunde B aandacht aan differentiaalrekening.
  • [vwo] Schenk bij wiskunde A en B aandacht aan differentiaalrekening en bij wiskunde B ook aandacht aan integraalrekening en differentiaalvergelijkingen.

RW06.1 - Veranderingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Deze bouwsteenset kent in de bovenbouw van havo en vwo een uitgebreid vervolg.

  • [havo] Schenk bij wiskunde B aandacht aan differentiaalrekening.
  • [vwo] Schenk bij wiskunde A en B aandacht aan differentiaalrekening en bij wiskunde B ook aandacht aan integraalrekening en differentiaalvergelijkingen.

Benaderingen

RW06.2 - Lees de hele bouwsteen

RW06.2 - Benaderingen

Links naar samenhangende bouwstenen


Toelichting samenhang

Leerlingen leren schatten en benaderen in concrete situaties. Ze leren redeneren over nauwkeurigheid, orde van grootte en marges.

RW06.2 - Benaderingen - Primair Onderwijs

Fase 1 (onderbouw primair onderwijs)

Inleiding

De basis voor schatten en benaderen ligt in de onderbouw van het primair onderwijs. In de eerste leerjaren maken leerlingen kennis met schatten, voornamelijk in de context van het omgaan met hoeveelheden. Zo leren ze bijvoorbeeld dat je bij een vraag als 'Waar zijn er de meeste van?' niet altijd precies hoeft te tellen om tot een antwoord te komen. In de context van getallen leren ze nadenken over de grootte en relaties tussen getallen: 'ligt 28 dichter bij 20 of 30?'

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • in concrete situaties aantallen tot ten minste 100 te schatten en schattend te vergelijken. Te denken valt aan beredeneerd schatten hoeveel paaseitjes in een vaas zitten;
  • lengtes te schatten met behulp van eigen lichaamsafmetingen (hand, voet, lichaamslengte);
  • omtrek en de oppervlakte van een figuur te benaderen.

Fase 2 (bovenbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de hogere leerjaren krijgen schatten en benaderen veel aandacht. De schattingen worden complexer van aard. Bovendien leren leerlingen wanneer een schatting volstaat en wanneer een exact antwoord nodig is. Ook leren zij in situaties redeneren over nauwkeurigheid, orde van grootte en marges.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen schattend uit te voeren met zowel grotere getallen, gehele getallen als decimale getallen;
  • verhoudingsproblemen schattend op te lossen (bijvoorbeeld: 243 van de 950 auto's reden te hard. Welk deel is dat ongeveer?);
  • de orde van grootte van een uitkomst van een berekening in te schatten (bijvoorbeeld 23 × 32 door er 25 × 30 van te maken) en de juistheid van een berekening op een device te controleren (inschatten of de uitkomsten wel of niet juist kunnen zijn);
  • afhankelijk van de situatie een keuze te maken tussen exact en schattend rekenen;
  • lengte, oppervlakte en inhoud van objecten te schatten en hierbij eventueel referentiematen te gebruiken. Denk aan hoeveel liter water past er in het zwembad?
  • gewichten te schatten en hierbij eventueel referentiematen te gebruiken;
  • te redeneren over nauwkeurigheid, de orde van grootte en de marges bij een gegeven situatie. Te denken valt aan: 'Wanneer is een marge van 1 milliliter wel en niet toegestaan?'

Leerlingen leren wiskundige technieken om veranderingen te begrijpen en te bepalen: benaderen, inklemmen, interpoleren en extrapoleren.

RW06.2 - Benaderingen - Onderbouw VO

Fase 3 (onderbouw voortgezet onderwijs)

Inleiding

In de onderbouw staan wiskundige technieken centraal die een juiste inschatting van de gezochte oplossing opleveren: benaderen, inklemmen (bijvoorbeeld de zijde van een vierkant van 20 m2 bepalen door middel van proberen: eerst 5 m, dan 4 m, dan 4,5 m, dan 4,45 m, enz.), interpoleren en extrapoleren. Deze technieken kunnen in de vorm van een of meer algoritmen weergegeven worden.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • het risico van tussentijds afronden te onderkennen. Te denken valt aan de berekening 10 : (1,74 - √3). Als √3 wordt afgerond tot 1,73, is de uitkomst 1000. Als √3 wordt afgerond tot 1,7321 is de uitkomst 1265,8. Een klein verschil in afronden leidt tot een verschil in uitkomst van ruim 25%;
  • vergelijkingen op te lossen met numerieke methoden bijvoorbeeld met behulp van inklemmen of door gebruik te maken van tabellen of grafische en numerieke apps. Te denken valt aan de nulpuntbepaling van een verband;
  • te interpoleren (een waarde tussen twee metingen) en te extrapoleren (voorspellingen doen, voortzetten wat je nog niet weet);
  • [vwo] andere benaderingsmethoden toe te passen. Te denken valt aan lineaire regressie en hierbij digitale gereedschappen te gebruiken.

In deze kolom vindt u aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs per bouwsteen van het leergebied. Het ontwikkelteam doet ook algemene aanbevelingen, zie bovenaan deze pagina.

Het leergebied Rekenen & Wiskunde doet algemene aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

RW06.2 - Benaderingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

  • [vwo] Leer leerlingen bij wiskunde B een integraal te benaderen met behulp van een Riemannsom en een differentiaalvergelijking te benaderen door middel van een differentievergelijking.

RW06.2 - Benaderingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

  • [vwo] Leer leerlingen bij wiskunde B een integraal te benaderen met behulp van een Riemannsom en een differentiaalvergelijking te benaderen door middel van een differentievergelijking.

Op de hoogte blijven?

Meld je nu aan en blijf op de hoogte van de laatste ontwikkelingen en het laatste nieuws rondom het landelijk curriculum.