Grote opdracht RW

Variabelen, verschijningsvormen en formules

Naar de bouwstenen van deze grote opdracht

Relevantie

In veel leergebieden en ook in de samenleving komen grootheden voor die met elkaar samenhangen. Een dergelijke samenhang heet in de wiskunde een verband of een functie. De verschillende representaties waarin verbanden kunnen worden weergegeven, worden internationaal begrepen en gebruikt en komen voor in de media en andere leergebieden. Kennis van representaties van verbanden en van verbanden met specifieke eigenschappen is daarom noodzakelijk. Dit illustreert het funderende en dragende karakter van Rekenen & Wiskunde.

Inhoud

Bij verbanden gaat het om de wijze waarop grootheden met elkaar samenhangen. Wanneer bijvoorbeeld de kosten over meer mensen verdeeld worden, neemt het te betalen bedrag per persoon af. Het is van belang dat leerlingen leren verschillende soorten verbanden te herkennen, ermee te rekenen en weer te geven in een (woord)formule met variabelen, tabellen en/of grafische voorstellingen. Aan bod komen het begrip van variabelen en het herleiden van formules, verbanden kunnen representeren, en met behulp hiervan kunnen redeneren en communiceren. Bij het werken met tabellen, formules en grafieken wordt, waar dit zinvol en van meerwaarde is, digitale technologie ingezet.

Uitwerking in kennis en vaardigheden (bouwstenen)

Titel van de bouwsteen Primair onderwijs Onderbouw VO Bovenbouw VO

Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen

RW04.1 - Lees de hele bouwsteen

Deze bouwsteen hangt samen met:

RW04.1 - Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen

Links naar samenhangende bouwstenen


Toelichting samenhang

Nederlands: 1.2 Interactie ten behoeve van taal- en denkontwikkeling
Leerlingen gebruiken school- en vaktaal bij het beschrijven van verbanden.
(NE: Leerlingen leren school- en vaktaal inzetten bij het onderwerp verbanden.)

Mens & Maatschappij: 9.6 Denken in actoren en structuren
Leerlingen leren over verbanden tussen grootheden, hun verschijningsvormen en vergelijkingen.
(MM: Kennis van verbanden en vergelijkingen (ook numeriek en grafisch) kunnen helpen om het abstracte denken in actoren en structuren mogelijk te maken.)

Mens & Natuur: 3.3 Modelgebruik en ontwerp
Leerlingen hebben kennis nodig van verbanden, verschijningsvormen en vergelijkingen om passende modellen in natuurwetenschappelijke en technische contexten te kunnen gebruiken en ontwerpen.
(MN: Voor het kunnen gebruiken en ontwerpen van passende modellen in natuurwetenschappelijke en technische contexten is kennis van verbanden, verschijningsvormen en vergelijkingen noodzakelijk.)

Mens & Natuur: 4.1 Patronen
Leerlingen analyseren patronen in gegevens om hiermee verbanden tussen grootheden te kunnen identificeren.
(MN: Leerlingen moeten patronen kunnen analyseren om verbanden tussen grootheden te kunnen identificeren.)

Mens & Natuur: 4.4 Relaties en verbanden
Leerlingen leren over verbanden tussen grootheden en hun representaties.
(MN: Leerlingen gebruiken passende representaties om een verband tussen grootheden weer te geven.)

Leerlingen leren verbanden tussen grootheden in eigen woorden te beschrijven. Ze leren woordformules op te stellen en deze via tabellen weer te geven in grafieken.

RW04.1 - Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen - Primair Onderwijs

Fase 1 (onderbouw primair onderwijs)

Inleiding

De kern van deze bouwsteen ligt in het voortgezet onderwijs. In het primair onderwijs wordt hiervoor een basis gelegd. We zien echter dat heel jonge kinderen al uit zichzelf verbanden leggen, denk bijvoorbeeld aan: 'als je groter bent, ben je ook ouder', ook al kloppen die conclusies vaak nog niet en zijn ze gebaseerd op ervaringen. In de eerste leerjaren leren leerlingen denken en redeneren over verbanden. Ze leren verbanden te zoeken in hun naaste omgeving en deze in eigen woorden te beschrijven, bijvoorbeeld hoe verder je van school woont, hoe langer je moet wandelen. Zo maken ze ook al kennis met het concept 'variabele'.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • eenvoudige verbanden in eigen woorden te beschrijven, te denken valt aan: 'hoe meer kinderen in de groep, hoe meer haakjes je nodig hebt om de jassen op te hangen';
  • gevolgen van een verandering in een variabele te beschrijven. Te denken valt aan: Als je voor een recept voor 4 personen 6 eieren nodig hebt, wat betekent het voor het aantal eieren als je het recept voor 8 personen moet maken? En voor 12 personen?
  • vleksommen met één onbekende op te lossen.

Fase 2 (bovenbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de hogere leerjaren leren leerlingen complexere verbanden te beschrijven, bijvoorbeeld hoe sneller de donder na de bliksem komt, hoe dichterbij de onweersbui. Leerlingen leren woordformules op te stellen bij verbanden en deze via tabellen weer te geven in grafieken. Te denken valt aan de woordformule \(totale spaarbedrag = 50 + 10 \times aantal maanden\) waarbij voor een verschillend aantal maanden het totale spaarbedrag wordt berekend en in een grafiek wordt weergegeven.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • complexere verbanden te herkennen en beschrijven;
  • eenvoudige woordformules op te stellen;
  • combinaties van mogelijke oplossingen van vlekopgaven met twee onbekenden te vinden;
  • bij een woordformule een tabel te maken, bij de tabel een grafiek te maken.

Leerlingen leren verschijningsvormen in elkaar om te zetten en gaan van woordformules naar formelere notaties. Ze leren vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen: numeriek, grafisch, algebraïsch.

RW04.1 - Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen - Onderbouw VO

Fase 3 (onderbouw voortgezet onderwijs)

Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen representaties van verbanden in elkaar om te zetten. ICT wordt hierbij als hulpmiddel ingezet. Leerlingen maken de stap van woordformules naar de formelere notatie met letters en symbolen. Leerlingen leren vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen: algebraïsch, numeriek, grafisch en met ICT.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • Met formules te werken waarbij [bb] variabelen door middel van woorden worden weergegeven, waarbij [kb] variabelen door middel van betekenisvolle letters worden weergegeven en waarbij [gt, havo, vwo] variabelen door middel van willekeurige letters worden weergegeven;
  • de verschillende betekenissen van het is-gelijk-teken te onderscheiden. Te denken valt aan \(2 + 3 = ...\) (bereken de uitkomst), en \(y = 2x + 3\) en \(2(x + 3) = 2x + 6\) (hier betekent het is-gelijk-teken dat beide zijden gelijkwaardig aan elkaar zijn);
  • onderscheid te maken tussen een onbekende \((x + 2 = 5)\), een variabele \((y = 2x + 3)\)  en een parameter \((y = 2x + b)\);
  • een lineaire of [kgt, havo, vwo] andersoortige vergelijking waarin de onbekende op slechts één plek voorkomt, algebraïsch op te lossen; Te denken valt aan \(2x + 5 = 9\), \(x^2 – 5 = 4\) en \(\sqrt{x - 2} = 6\);
  • in een lineaire of [gt, havo, vwo] andersoortige vergelijking waar de onbekende op verschillende plekken voorkomt, de onbekende met eenvoudige technieken te isoleren en de vergelijking vervolgens op te lossen. Te denken valt aan toepassing van de balansmethode;
  • [gt, havo, vwo] expressies te herleiden door gelijksoortige termen samen te nemen, haakjes weg te werken en ontbinden in factoren;
  • [gt, havo, vwo] expressies met machten, wortels en gebroken vormen te herleiden;
  • [gt, havo, vwo] een variabele vrij te maken uit een formule. Te denken valt aan: uit \(y = 2x + 5\) de formule \(x = 0,5y – 2,5\) af te leiden;
  • [gt, havo, vwo] vergelijkingen van de vorm \(A \times B = 0\),  \(\frac{A}{B} = 0\) en \(f(A) = f(B)\) algebraïsch op te lossen. Te denken valt aan \((x – 2)(2x + 6) = 0\), \(\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0\) en \(\sqrt{x + 2} = \sqrt{4 - x}\);
  • ongelijkheden met bovenstaande kenmerken algebraïsch op te lossen;
  • overige vergelijkingen en ongelijkheden numeriek, grafisch en/of met behulp van ICT op te lossen.

In deze kolom vindt u aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs per bouwsteen van het leergebied. Het ontwikkelteam doet ook algemene aanbevelingen, zie bovenaan deze pagina.

Het leergebied Rekenen & Wiskunde doet algemene aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

RW04.1 - Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Het oplossen van vergelijkingen en verwerving van kennis over verbanden en verschijningsvormen in het algemeen kent een vervolg in de bovenbouw.

  • [bb] Leer leerlingen eenvoudige lineaire vergelijkingen op te lossen met een onbekende die met behulp van een letter genoteerd wordt.
  • [havo, vwo] Leer leerlingen bij wiskunde B ook andere technieken voor het algebraïsch oplossen van vergelijkingen. Te denken valt aan het ontbinden in factoren bij kwadratische en hogeregraads vergelijkingen, kwadraat afsplitsen en aan de wortel- of abc-formule.

RW04.1 - Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Het oplossen van vergelijkingen en verwerving van kennis over verbanden en verschijningsvormen in het algemeen kent een vervolg in de bovenbouw.

  • [bb] Leer leerlingen eenvoudige lineaire vergelijkingen op te lossen met een onbekende die met behulp van een letter genoteerd wordt.
  • [havo, vwo] Leer leerlingen bij wiskunde B ook andere technieken voor het algebraïsch oplossen van vergelijkingen. Te denken valt aan het ontbinden in factoren bij kwadratische en hogeregraads vergelijkingen, kwadraat afsplitsen en aan de wortel- of abc-formule.

Speciale verbanden

RW04.2 - Lees de hele bouwsteen

Deze bouwsteen hangt samen met:

RW04.2 - Speciale verbanden

Links naar samenhangende bouwstenen


Toelichting samenhang

Mens & Maatschappij: 9.6 Denken in actoren en structuren
Leerlingen leren over speciale verbanden (lineair, exponentieel, logaritmisch, machts-).
(MM: Kennis van verbanden en vergelijkingen (ook numeriek en grafisch) kunnen helpen om het abstracte denken in actoren en structuren mogelijk te maken.)

Mens & Natuur: 4.1 Patronen
Leerlingen analyseren patronen in gegevens om hiermee verbanden tussen grootheden te kunnen karakteriseren.
(MN: Leerlingen moeten patronen kunnen analyseren om verbanden tussen grootheden te kunnen karakteriseren.)

Leerlingen leren dat er naast de vaste toe- of afname ook andere soorten regelmaat bestaan. Ze leren deze patronen in eigen woorden te beschrijven, voort te zetten en in een tabel te noteren.

RW04.2 - Speciale verbanden - Primair Onderwijs

Fase 1 (onderbouw primair onderwijs)

Inleiding

Kinderen hebben op jonge leeftijd al gevoel voor patronen en regelmaat. Te denken valt aan regelmaat kiezen bij het rijgen van kralen. In de eerste leerjaren leren leerlingen denken en redeneren over eenvoudige regelmaat. Ze leren de regelmaat in een reeks vormen en in een getallenrij in eigen woorden te beschrijven en deze regelmaat vervolgens zelf voort te zetten.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • regelmaat te herkennen in een serie getallen en deze regelmaat in woorden te beschrijven en voort te zetten. Te denken valt aan een rij als: 99, 97, 95, … 'Wat is dan het volgende getal? Hoe weet je dat?';
  • periodieke regelmaat te herkennen en te beschrijven, te denken valt aan: maak de reeks af: vierkant, driehoek, cirkel, vierkant, …. ‘Wat is dan het volgende figuur? Hoe weet je dat?’.

Fase 2 (bovenbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de bovenbouw van het po leren leerlingen dat er naast de vaste toe- of afname ook andere soorten regelmaat bestaan die in verbanden weergegeven kunnen worden. Bijvoorbeeld verbanden waarbij er steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt of waarbij er door hetzelfde getal gedeeld wordt.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • regelmaat in een reeks getallen of in een reeks meetkundige patronen te herkennen, weer te geven in een tabel en te verwoorden. Te denken valt aan regelmaat in de reeks 1, 2, 4, 8, 16, …

Leerlingen leren werken met meer speciale verbanden op formeler niveau. Ze maken kennis met de formules, grafieken en eigenschappen van deze speciale verbanden.

RW04.2 - Speciale verbanden - Onderbouw VO

Fase 3 (onderbouw voortgezet onderwijs)

Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt het aantal speciale verbanden uitgebreid en geformaliseerd. Leerlingen maken kennis met de formules, grafieken en eigenschappen van deze verbanden.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • de soort regelmaat tussen een afhankelijke en onafhankelijke variabele te herkennen in tabellen en deze voort te zetten als er sprake is van:
    • Een lineair verband: (Als de onafhankelijke variabele met een vaste hoeveelheid toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste hoeveelheid toe of af).
    • [havo, vwo] Een exponentieel verband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste hoeveelheid toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste factor toe of af).
    • [havo, vwo] Een logaritmisch verband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste factor toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste hoeveelheid toe of af).
    • [havo, vwo] Een machtsverband of wortelverband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste factor toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste factor toe of af (machtsverband en in het bijzonder gebroken (de exponent is negatief) of wortelverband (de exponent is een breuk))
    • [havo, vwo] Periodiek verband (De afhankelijke variabele vertoont een zich herhalend patroon).
  • van de bovenstaande standaardverbanden grafieken te tekenen en karakteristieken te benoemen;
  • formules op te stellen bij lineaire en [havo, vwo] exponentiële verbanden, bijvoorbeeld \(Kosten = 50 + aantal uren \cdot 10\) en \(Geldbedrag = 1000 \cdot 1,02^{aantal jaren}\);
  • verband te zien tussen verhoudingen en evenredigheid;
  • [havo, vwo] omgekeerd evenredigheid te herkennen in een tabel;
  • [vwo] te redeneren over lineaire \((y = ax + b\), met \(a = \frac{\Delta y}{\Delta x})\) en exponentiële verbanden \((y = b \cdot g^x)\);
  • [havo, vwo] te herkennen dat een bepaald verband al dan niet een verschuiving en/of vervorming is van een van bovenstaande standaardverbanden. Indien dat het geval is, leren ze de grafieken handmatig te tekenen, indien dat niet het geval is zetten ze digitale gereedschappen in.

In deze kolom vindt u aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs per bouwsteen van het leergebied. Het ontwikkelteam doet ook algemene aanbevelingen, zie bovenaan deze pagina.

Het leergebied Rekenen & Wiskunde doet algemene aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

RW04.2 - Speciale verbanden - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Het leren over speciale verbanden wordt in de bovenbouw voortgezet en het repertoire aan speciale verbanden wordt uitgebreid.

RW04.2 - Speciale verbanden - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Het leren over speciale verbanden wordt in de bovenbouw voortgezet en het repertoire aan speciale verbanden wordt uitgebreid.

Op de hoogte blijven?

Meld je nu aan en blijf op de hoogte van de laatste ontwikkelingen en het laatste nieuws rondom het landelijk curriculum.