Grote opdracht RW

Getallen en bewerkingen

Naar de bouwstenen van deze grote opdracht

Relevantie

Getallen en bewerkingen vormen een belangrijk fundament in een wereld vol getallen, zoals in de winkel en de media. Inzicht en kennis hebben in getallen en bewerkingen en ermee kunnen werken en handelen is van belang. Getalbegrip en het begrijpen en kunnen uitvoeren van bewerkingen zijn noodzakelijk om te kunnen functioneren in beroep en de maatschappij (gecijferdheid). Ook al nemen digitale hulpmiddelen steeds meer rekenwerk over, goed kunnen omgaan met getallen en bewerkingen blijft belangrijk. Getallen en bewerkingen vormen de basis voor de overige inhouden van het leergebied en voor andere leergebieden. Dit is een illustratie van het funderende en dragende karakter van Rekenen & Wiskunde. Verder dient exact rekenen ook ter voorbereiding op de algebra en vormt het een eerste stap in de ontwikkeling van formele wiskunde.

Inhoud

Getallen hebben verschillende betekenissen en functies, zij kunnen namen (buslijn 7), nummers en hoeveelheden (aantallen of maten, zoals het suikergehalte in etenswaren) aanduiden. Kennis en begrip van getallen en van hoeveelheden is de noodzakelijke basis voor het leren rekenen. Naast begrip van eigenschappen van bewerkingen op zich is het essentieel dat leerlingen ook de sámenhang tussen bewerkingen begrijpen. Leerlingen ontwikkelen vaardigheid in het uitvoeren van bewerkingen volgens vaste of meer flexibele procedures met bijbehorende vaktaal. Zo werken ze aan een stevig fundament van geautomatiseerde basisvaardigheden en gememoriseerde basiskennis. Schattend rekenen ondersteunt verder wiskundige ontwikkeling en redzaamheid: ter controle en als (digitale) hulpmiddelen even niet beschikbaar zijn.

Uitwerking in kennis en vaardigheden (bouwstenen)

Titel van de bouwsteen Primair onderwijs Onderbouw VO Bovenbouw VO

Getallen

RW01.1 - Lees de hele bouwsteen

Deze bouwsteen hangt samen met:

RW01.1 - Getallen

Links naar samenhangende bouwstenen


Toelichting samenhang

Mens & Natuur: 4.3 Schaal verhouding en hoeveelheid
Leerlingen passen getalbegrip toe bij vergelijking van hoeveelheden.
(MN: Om hoeveelheden te kunnen vergelijkingen wordt een beroep gedaan op het getalbegrip van de leerling)

Kunst & Cultuur: 3.1 Artistieke kennis en vaardigheden
Leerlingen passen getalbegrip toe bij gebruik van artistieke technieken en vaardigheden.
(KC: Bij het toepassen van artistieke technieken en vaardigheden wordt een beroep gedaan op het getalbegrip van de leerling.)

Leerlingen leren met inzicht om te gaan met hoeveelheden, de telrij, getallen en de structuur van het getalsysteem. Later breidt dit zich uit naar grote getallen, decimale getallen en breuken.

RW01.1 - Getallen - Primair Onderwijs

Fase 1 (onderbouw primair onderwijs)

Inleiding

Jonge kinderen komen al vroeg in aanraking met tellen, hoeveelheden, cijfers en getallen. Ze zeggen de telrij op als een liedje (akoestisch tellen), eerst zonder betekenis, later gaan ze hoeveelheden en getallen herkennen en begrijpen. Aanvankelijk nog gekoppeld aan hoeveelheden (bv. aantal appels). Later leren ze getallen zien als objecten, die je los kunt zien van een context (3, in plaats van 3 appels). Getallen krijgen betekenis en het getalgebied breidt zich uit. Leerlingen gaan getalsymbolen gebruiken, kunnen het getalstelsel doorzien en zien relaties tussen getallen. Het is essentieel dat leerlingen een goede verbinding leggen tussen de informele getallenwereld en de formele vaktaal.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren in het getalgebied tot ongeveer 1000:

  • getalsymbolen te herkennen, benoemen en noteren;
  • door en terug te tellen vanaf elk willekeurig getal (ook met sprongen), de structuur van de telrij te doorzien en weten de plaats van getallen ten opzichte van elkaar;
  • hoeveelheden te schatten en precies te tellen, splitsen, vergelijken, ordenen en structureren (vijf- en tienstructuur), en te representeren met behulp van bijvoorbeeld turven en met getalsymbolen;
  • de tientallige structuur van ons talstelsel te doorzien en te gebruiken, bijvoorbeeld bij het herkennen van de plaatswaarde van cijfers in getallen;
  • getallen te vergelijken en ordenen, splitsen en samenvoegen en hierover te redeneren;
  • vaktaal te gebruiken zoals bij begrippen als: meer, minste, meeste, evenveel, half, helft, cijfer, getal.

Fase 2 (bovenbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs breiden het getalgebied en het getalbegrip van de leerlingen zich uit naar grote getallen, decimale getallen en breuken. Leerlingen leren de structuur van het getalsysteem te gebruiken in dagelijkse contexten, maar kennen die ook op abstract niveau. Hierbij neemt schatten (zie bouwsteenset 6.2) een belangrijke plaats in. Leerlingen leren af te ronden op basis van regels of passend bij de context (zie bouwsteenset 8.1). Begrip van de relatie tussen gehele getallen, decimale getallen en breuken is essentieel. Leerlingen maken in deze fase ook kennis met eigenschappen van getallen, bijvoorbeeld van priemgetallen.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • omgaan met de telrij; grote hoeveelheden en gehele getallen tellen, vergelijken en ordenen; de plaatswaarde van cijfers in getallen te gebruiken; getallen te splitsen en samen te stellen. Leerlingen leren dit in samenhang met andere wiskundige inhouden, te denken valt aan meten (metriek stelsel, geld);
  • af te ronden op eenheden, tientallen, honderdtallen of duizendtallen op basis van regels of passend bij de context;
  • decimale getallen met een verschillend aantal cijfers achter de komma in het dagelijks leven te herkennen en te interpreteren, te vergelijken en ordenen, de decimale structuur en de plaatswaarde van cijfers in getallen te gebruiken en de relatie te leggen met breuken als deel van een geheel. Leerlingen leren dit in samenhang met andere wiskundige inhouden, te denken valt aan meten (2,8 km betekent 2 kilometer en 800 meter);
  • breuken in het dagelijks leven te herkennen en te interpreteren en omgaan met de breuk als getal, als deel van een geheel (en als representatie van een verhouding);
  • breuken te vergelijken en ordenen en de relatie te leggen met andere breuken (te denken valt aan onder andere gelijknamig maken), gehele getallen, decimale getallen. Leerlingen leren dit in samenhang met andere kennisdomeinen, te denken valt aan meten (\(\frac{1}{4}\) liter is hetzelfde als 0,25 liter);
  • vaktaal te begrijpen, herkennen en gebruiken, zoals: uitspreken, noteren en lezen van grote getallen, decimale getallen, breuken (a/b, a:b, \(\frac{a}{b}\)), begrippen zoals even, oneven, tientallig, maar ook miljoen en miljard (bijvoorbeeld in de context van geld).

Leerlingen verdiepen hun inzicht, kennis en vaardigheden rond hele getallen, decimale getallen en breuken en leren rekenen met negatieve getallen, irrationale getallen en wortels.

RW01.1 - Getallen - Onderbouw VO

Fase 3 (onderbouw voortgezet onderwijs)

Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs verdiepen de leerlingen hun inzicht, kennis en vaardigheden op het gebied van gehele getallen, decimale getallen en breuken en breidt de wereld van getallen zich verder uit. Ze maken kennis met en leren omgaan met negatieve getallen en irrationale getallen zoals π en wortels, bijvoorbeeld √2, en leren ze omgaan met wetenschappelijke notaties.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • zich verder te verdiepen in gehele getallen, decimale getallen en breuken, zowel binnen complexere contexten als met complexere getallen;
  • om te gaan met negatieve getallen en irrationale getallen, wortels en machten;
  • dat getallen op verschillende manieren weergegeven kunnen worden, zoals √3 en 1,7320… .[havo, vwo] In de weergave van een getal kunnen bewerkingen voorkomen die je niet uitrekent, zo is 2 + √3 een getal;
  • [havo, vwo] wetenschappelijke notaties (bijvoorbeeld van heel grote getallen (6,2 × 1012) en heel kleine getallen (4,1 × 10-6)), [vwo] eindig en oneindig, negatieve, rationale, irrationale en natuurlijke getallen.

In deze kolom vindt u aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs per bouwsteen van het leergebied. Het ontwikkelteam doet ook algemene aanbevelingen, zie bovenaan deze pagina.

Het leergebied Rekenen & Wiskunde doet algemene aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

RW01.1 - Getallen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Getallen en getalbegrip vormen een belangrijk fundament voor rekenen en wiskunde in het gehele voortgezet onderwijs en verder. In de bovenbouw van het voortgezet onderwijs worden echter geen nieuwe soorten getallen aangeleerd.

RW01.1 - Getallen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

Getallen en getalbegrip vormen een belangrijk fundament voor rekenen en wiskunde in het gehele voortgezet onderwijs en verder. In de bovenbouw van het voortgezet onderwijs worden echter geen nieuwe soorten getallen aangeleerd.

Bewerkingen

RW01.2 - Lees de hele bouwsteen

Deze bouwsteen hangt samen met:

RW01.2 - Bewerkingen

Links naar samenhangende bouwstenen


Toelichting samenhang

Mens & Natuur: 4.3 Schaal verhouding en hoeveelheid
Vaardigheid in getalsbewerkingen is nodig bij het werken met schaal, verhoudingen en hoeveelheden.
(MN: Vaardigheid met wiskundige bewerkingen is nodig bij het werken met kwantitatieve verbanden tussen grootheden.)

Leerlingen leren optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met hele getallen, decimale getallen en breuken en deze toepassen in nieuwe situaties: in contexten en op formeel niveau.

RW01.2 - Bewerkingen - Primair Onderwijs

Fase 1 (onderbouw primair onderwijs)

Inleiding

Jonge kinderen, ook peuters, leren al vroeg handelend te rekenen: ze verdelen snoepjes, ze tellen de ogen van twee dobbelstenen bij elkaar. In de eerste jaren van het primair onderwijs leren leerlingen optellen en aftrekken en leren ze de bijbehorende formele rekentaal. Later komt daar vermenigvuldigen en delen bij. Memoriseren van de bewerkingen onder 20 en automatiseren van de vermenigvuldigingen uit de tafels tot en met 10 is noodzakelijk.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren met name binnen het getalgebied met gehele getallen tot 100:

  • begrippen en de relaties tussen begrippen te gebruiken, zoals erbij, eraf, samen, verschil, is evenveel als, splitsen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en som;
  • schattend en precies op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen in zowel contexten als zonder context. Ze gebruiken daarbij vaktaal (notaties) en leren hun oplossingsmanieren uit te leggen;
  • verschillende strategieën te gebruiken waarbij ze gebruik maken van de eigenschappen van getallen en relaties tussen getallen, zoals compenseren, verwisselen, verdubbelen, halveren. Te denken valt aan 8 + 4 = 12, dan is ook 4 + 8 = 12 en te denken valt aan 5 x 8 = 10 x 4;
  • relaties tussen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (bijvoorbeeld elkaars inverse) te gebruiken en uit te leggen. Te denken valt aan: 3 + 4 = 7 en 7 – 3 = 4;
    5 x 2 = 10 en 10 : 5 = 2;
  • splitsingen, optellingen en aftrekkingen onder 20 uit het hoofd (memoriseren) en de tafels en deeltafels tot en met 10 te automatiseren.

Fase 2 (bovenbouw primair onderwijs)

Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen de vier basisbewerkingen hanteren met grotere getallen en decimale getallen en benoemde breuken. Hierbij gaat het zowel om het uitvoeren van de bewerking als het kunnen uitleggen van het gebruik van verschillende mogelijke strategieën. Ze leren hun kennis en vaardigheden toepassen in nieuwe situaties, zowel in contexten als op formeel niveau. Hierbij neemt schattend rekenen (zie bouwsteenset 6.2) een belangrijke plaats in. Daarnaast leren leerlingen gebruik maken van digitale gereedschappen, zoals de rekenmachine of een rekenapp.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • de tafels en deeltafels tot en met 10 uit het hoofd (memoriseren);
  • de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met grotere en decimale getallen uit te voeren door gebruik te maken van standaardstrategieën, zoals rijgen en cijferen en door gebruik te maken van eigenschappen en relaties van getallen en bewerkingen, zoals compenseren, verwisselen en omvormen;
  • verschillende bewerkingen met eenvoudige breuken uit te voeren - voor zover dat mogelijk is met een denkmodel of een visualisatie - en daarover te redeneren.
  • gangbare nationale en internationale symbolen te herkennen en te gebruiken, ook op (digitale) gereedschappen. Te denken valt aan:
    • deelteken is : of / of ÷
    • een decimaal getal kan met een punt of komma genoteerd worden
    • vermenigvuldigingsteken is × of * of
  • bewerkingen met grote getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uit te voeren met behulp van een rekenmachine en deze op een kritische manier in te zetten.

Leerlingen leren bewerkingen uitvoeren met negatieve getallen, onbenoemde breuken, machten, wortels en irrationale getallen. Ze leren verschillende rekenstrategieën te gebruiken en uit te leggen.

RW01.2 - Bewerkingen - Onderbouw VO

Fase 3 (onderbouw voortgezet onderwijs)

Inleiding

Leerlingen bouwen hier verder op het fundament dat in het primair onderwijs is gelegd. Ze voeren nu ook bewerkingen uit met negatieve getallen, heel grote en heel kleine getallen en met onbenoemde breuken. Leerlingen maken kennis met machten, wortels en irrationale getallen en leren hiermee te rekenen. Ze leren de verschillende rekenstrategieën en relaties tussen getallen en bewerkingen te gebruiken en uit te leggen. Digitale hulpmiddelen als de rekenmachine krijgen een grotere rol, waarbij het essentieel is dat de leerlingen deze kritisch blijven hanteren en de uitkomsten (schattend) controleren.

Kennis en/of vaardigheden

Leerlingen leren:

  • de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met positieve en negatieve gehele, decimale, en [vwo] irrationale getallen uit te voeren met behulp van verschillende strategieën;
  • te machtsverheffen en worteltrekken, [havo, vwo] en logaritmen te berekenen;
  • te rekenen met machten en wortels, met heel grote en heel kleine getallen;
  • (standaard)procedures uit te voeren voor de vier bewerkingen met breuken. Hierbij is differentiatie binnen de onderwijsvormen noodzakelijk. Te denken valt aan het enkel aanbieden van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen in het vmbo.

In deze kolom vindt u aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs per bouwsteen van het leergebied. Het ontwikkelteam doet ook algemene aanbevelingen, zie bovenaan deze pagina.

Het leergebied Rekenen & Wiskunde doet algemene aanbevelingen voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

RW01.2 - Bewerkingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

  • Schenk in de bovenbouw aandacht aan onderhoud van getalsbewerkingen.
  • [bb, kb, gl] Zoek met name in deze bouwsteenset afstemming tussen Rekenen & Wiskunde en de beroepsgerichte (profiel)vakken.
  • [havo, vwo] Schenk in de bovenbouw aandacht aan eigenschappen van bewerkingen en wat voor gevolgen die hebben voor herleidingen in formules en expressies. Te denken valt aan: \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\), maar \(\sqrt{a + b} \ne  \sqrt{a} + \sqrt{b}\) en \(\frac{2a}{2} = a\), maar \(\frac{2+a}{2} \ne a\).

RW01.2 - Bewerkingen - Aanbevelingen Bovenbouw VO

Aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs

  • Schenk in de bovenbouw aandacht aan onderhoud van getalsbewerkingen.
  • [bb, kb, gl] Zoek met name in deze bouwsteenset afstemming tussen Rekenen & Wiskunde en de beroepsgerichte (profiel)vakken.
  • [havo, vwo] Schenk in de bovenbouw aandacht aan eigenschappen van bewerkingen en wat voor gevolgen die hebben voor herleidingen in formules en expressies. Te denken valt aan: \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\), maar \(\sqrt{a + b} \ne  \sqrt{a} + \sqrt{b}\) en \(\frac{2a}{2} = a\), maar \(\frac{2+a}{2} \ne a\).

Op de hoogte blijven?

Meld je nu aan en blijf op de hoogte van de laatste ontwikkelingen en het laatste nieuws rondom het landelijk curriculum.