Hieronder vindt u de uitwerking van het voorstel van Rekenen & Wiskunde. Bij elk leergebied bestaan de opbrengsten uit drie producten: visie, grote opdrachten en bouwstenen. Daarnaast vindt u hier ook algemene aanbevelingen en toelichtingen van het ontwikkelteam.
Aanbevelingen en toelichtingen
- Toelichting op de voorstellen (incl. begrippenlijst)
-
Generieke aanbevelingen voor het leergebied Rekenen & Wiskunde
Generieke aanbevelingen voor het leergebied Rekenen & Wiskunde
Algemeen
Hierna staan enkele algemene aanbevelingen die naar de mening van het ontwikkelteam expliciete aandacht behoeven.
- Zorg voor blijvende aandacht voor consolidatie, voortzetting en verdieping van alle bouwstenen in het voortgezet onderwijs.
- Ga flexibel om met de leertijd. Laat betere leerlingen het curriculum sneller doorlopen en maak ruimte voor verrijking en verdieping in bijvoorbeeld de wiskunde en/of andere vakken.
- Geef het vmbo zo snel mogelijk helderheid over de volgorde van veranderingen die het vmbo te wachten staat ten gevolge van:
- twee wiskundevakken (wiskunde 2F en wiskunde plus) voor alle leerwegen;
- de ontwikkeling van rekenen in het mbo;
- de drempelloze doorstroom van vmbo-gt naar havo;
- de invoering van de Nieuwe Leerweg met daarbinnen een verplicht praktijkvak.
Professionalisering
Naast uitwerking van de bouwstenen in kerndoelen en eindtermen is naar onze mening nascholing voor leraren in het primair en voortgezet onderwijs noodzakelijk. Het betreft hier enerzijds nascholing op het gebied van wiskundekennis, in het bijzonder over kansrekening en statistiek in het primair onderwijs en anderzijds op het gebied van de denk- en werkwijzen. Zonder deze nascholing denken wij dat de door ons voorgestelde vernieuwingen weinig kans van slagen hebben.
Overladenheid
Het ontwikkelteam heeft als opdracht gekregen overladenheid in het curriculum te verminderen. Wij zijn van mening dat het leergebied Rekenen & Wiskunde niet voor vermindering van leertijd in aanmerking komt. Het belang van Rekenen & Wiskunde neemt in de toekomst toe. Dat rechtvaardigt een groter aandeel van Rekenen & Wiskunde in het gehele curriculum. Wij bevelen aan gebruik te maken van mogelijkheden om overladenheid te reduceren in de uitvoering van het curriculum. Te denken valt aan verbetering van de interne samenhang, verbetering van de samenhang met andere leergebieden en het lesboek niet als integrale methode, maar als bronnenboek te gebruiken.
Reken- en wiskundebewust vakonderwijs
Het ontwikkelteam ondersteunt de gedachte dat rekenen en wiskunde een plaats verdient in andere leergebieden. Zij beveelt scholen aan dit reken- en wiskundebewust vakonderwijs nader vorm te geven. Het is daarbij belangrijk dat er afstemming plaatsvindt tussen het leergebied Rekenen & Wiskunde, waar leerinhoud wordt aangeleerd en geoefend, en de overige leergebieden waarbij gerekend wordt. Zij beveelt verder aan in de reken- en wiskundeles toepassingssituaties te betrekken uit andere leergebieden.
-
Algemene aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs (Rekenen & Wiskunde)
Algemene aanbevelingen bovenbouw voortgezet onderwijs (Rekenen & Wiskunde)
Wiskunde vmbo
Het ontwikkelteam heeft er kennis van genomen dat in Een nieuw perspectief op rekenen in het voortgezet onderwijs twee wiskundevakken (wiskunde 2F en wiskunde plus) voorgesteld worden. Het valt niet onder de opdracht van Curriculum.nu nadere invulling te geven aan deze beide wiskundevakken. Het ontwikkelteam neemt desondanks de vrijheid om twee aanbevelingen te doen.
Afstemming in de doorlopende leerlijn
Nadere invulling van de twee wiskundevakken wordt naar verwachting opgedragen aan een nieuw te vormen commissie die de uitkomsten van Curriculum.nu zal meenemen. Daarnaast is er voor het mbo een werkgroep actief om rekenen voor het mbo meer beroepsgericht in te richten nu de rekentoets in het voortgezet onderwijs is afgeschaft. Het ontwikkelteam acht het gewenst dat deze initiatieven op elkaar afgestemd worden zodat er een doorlopende leerlijn via het vmbo ontstaat van het primair onderwijs naar het mbo.
Borging doorstroom
Vanuit en binnen het vmbo bestaat er een aantal doorstroommogelijkheden. Een meerderheid van de vmbo-leerlingen stroomt door naar het mbo en een minderheid van de vmbo-leerlingen naar het havo. Binnen het vmbo zien we dat een aantal leerlingen na afloop van de basisberoepsgerichte leerweg doorstroomt naar de kaderberoepsgerichte leerweg. Meer specifiek gaat het om de doorstroom van leerlingen van vmbo-bb naar vmbo-kb, van vmbo-kb en vmbo-gt naar mbo-niveau 4 sector techniek en vmbo-gt naar havo. In de huidige situatie zijn er bij deze doorstroommogelijkheden hiaten in de doorlopende leerlijn voor al deze leerlingen. De hiaten zijn het grootst voor de leerlingen die doorstromen van vmbo-bb naar vmbo-kb, van vmbo-gt naar havo en naar een technische mbo-opleiding van niveau 4.
Met het oog op de twee wiskundevakken geeft het ontwikkelteam een tweetal aanbevelingen ter verbetering van de doorlopende leerlijn bij de doorstroom:
- Richt in elke leerweg voor alle leerlingen een basiscurriculum wiskunde in dat afgesloten wordt met een centraal examen met de domeinen getallen, verhoudingen, meten en meetkunde, verbanden en statistiek.
- Richt daarnaast voor de betere leerling in elke leerweg een doorstroomcurriculum (wiskunde plus) in dat afgesloten wordt met een schoolexamen, afgestemd op het profiel en/of de vervolgopleiding. Zorg dat het wiskunde pluscurriculum tenminste de hiaten opheft in de doorlopende leerlijn van de betreffende doorstroomvariant.
Deze aanbevelingen worden in beeld gebracht in onderstaande figuur.
Figuur 2: Doorstroommogelijkheden binnen en vanuit het voortgezet onderwijs
Wiskunde in havo en vwo
- Richt op havo en vwo voor alle leerlingen een basiscurriculum wiskunde in dat afgesloten wordt met een centraal examen op de domeinen getallen, verhoudingen, meten en meetkunde, verbanden en statistiek.
- Het uitgangspunt van de NVvW om de koppeling tussen de wiskundevakken en de huidige profielen, zoals wiskunde C voor het profiel Cultuur en Maatschappij, los te laten is interessant. Het ontwikkelteam beveelt aan om naast het basiscurriculum wiskunde de inhoud van de wiskundevarianten in de bovenbouw meer af te stemmen op andere leergebieden en vakken.
Wiskunde A
Het ontwikkelteam beveelt aan om wiskunde A een unieke plaats met een eigen curriculum te geven in het stelsel van wiskundevakken en –varianten. Ze meent dat wiskunde A geen lichte variant van wiskunde B moet zijn.
Wiskunde B en C
Het ontwikkelteam heeft doet geen generieke aanbevelingen ten aanzien van wiskunde B en C.
Wiskunde D
Het ontwikkelteam onderschrijft het bestaansrecht van wiskunde D. Het wiskunde D-programma voor havo en vwo is een keuzeprogramma en kan alleen gekozen worden in combinatie met wiskunde B en behoort niet tot de kern. Er zullen daarom over dit vak geen aanbevelingen gedaan worden.
Ontwikkeling bovenbouw havo en vwo
In de vervolgfase worden eindtermen ontwikkeld voor de wiskundevakken in de bovenbouw van havo en vwo. Het ontwikkelteam beveelt aan om dit te doen in samenwerking met vervolgopleidingen. In de beschrijving van de bouwstenen doet het ontwikkelteam specifieke aanbevelingen. Die hebben betrekking op vernieuwingen in de bovenbouw. Daar waar geen vernieuwingen voorgesteld worden, doet het ontwikkelteam geen specifieke aanbevelingen.
- Download alle voorstellen en aanbevelingen als PDF
Visie op het leergebied
In de visie beschrijft het ontwikkelteam de relevantie, inhoud en positie van het leergebied binnen het onderwijs.
Visie Rekenen & Wiskunde
Inleiding
Redenen om een nieuw curriculum te ontwikkelen
Het project Curriculum.nu heeft tot doel veranderingen door te voeren in de curricula van negen leergebieden met het oog op doorlopende leerlijnen, samenhang in het curriculum en toekomstbestendig onderwijs. Voor het leergebied Rekenen & Wiskunde is er daarnaast een aantal andere redenen het curriculum van de verschillende reken- en wiskundevakken en –varianten te verbeteren:
Veranderingen in de wereld, de samenleving, de beroepspraktijk en technologie
Er zijn veel verschijnselen en ontwikkelingen waar te nemen die van invloed zijn op het curriculum van het leergebied Rekenen & Wiskunde. Te denken valt onder andere aan:
- beschikbaarheid van grote hoeveelheden gegevens en
- gebruik en ontwikkeling van informatie- en communicatietechnologie.
Deze verschijnselen maken dat de rol van wiskunde in de samenleving verandert. Meer mensen dan voorheen komen - soms onbewust - in aanraking met rekenen en wiskunde, maar wel op een andere manier en met andere rekenen- en wiskundeonderwerpen dan in het verleden.
Dalend beheersingsniveau van vooral betere leerlingen
Uit internationale vergelijkingsonderzoeken als TIMSS en PISA valt te concluderen dat onze leerlingen aan de onderkant van het spectrum bovengemiddeld goede scores behalen, maar dat de groep betere leerlingen in primair en voortgezet onderwijs steeds meer achteropraakt bij andere landen. Dat vinden we een zorgwekkende ontwikkeling.
Manco's in doorlopende leerlijnen
Door vele kleine tussentijdse wijzigingen van het curriculum uit het verleden is de aansluiting tussen voor- en vervolgopleidingen op sommige plekken niet meer optimaal, te denken valt aan de doorstroom van vmbo-gt naar havo. Bovendien bestaat er behoefte aan nieuwe doorstroommogelijkheden, bijvoorbeeld van vmbo-bb naar vmbo-kb. Het stapel- of lineaire karakter van wiskunde maakt dat aansluitingsproblemen in het onderwijs niet eenvoudig op te vangen zijn. Een ander punt van zorg is dat bepaalde basiskennis en –vaardigheden onvoldoende op peil zijn door te weinig aandacht voor automatiseren, voor memoriseren en voor onderhoud. Ook hier geldt dat het stapelkarakter van het leergebied voor problemen zorgt als basiskennis en –vaardigheden niet op orde zijn.
Gebrek aan samenhang en afstemming
We zien hier dat nieuwe concepten soms eerder en anders in andere vakken geïntroduceerd worden dan bij wiskunde en dat transfer van wiskundekennis en –vaardigheid naar andere vakken problematisch is, denk bijvoorbeeld aan procentberekeningen. Sommige leerlingen maken geheel ten onrechte onderscheid tussen 'wiskundeprocenten' en 'economieprocenten'. Het opzetten van een nieuw curriculum in samenhang met andere vakgebieden biedt een mooie kans om de afstemming en samenhang te versterken waarbij rekenen en wiskunde een verbindende, faciliterende rol vervult.
Gebrek aan motivatie onder leerlingen
Uit internationale vergelijkingsonderzoeken blijkt dat de motivatie van Nederlandse leerlingen om op school wiskunde te leren laag is in vergelijking met andere landen. Veel leerlingen vragen zich af waar wiskunde toe dient en wat je er mee kunt. Een betekenisvoller curriculum moet hier verandering in kunnen aanbrengen.
Relevantie
Rekenen en wiskunde in de samenleving
Rekenen en wiskunde zijn funderend en dragend voor steeds meer aspecten van beroep en burgerschap. Wiskunde is zelden direct zichtbaar, maar overal aanwezig. Daar waar sprake is van structureren, ontwerpen, modelleren en rekenen, worden rekenen en wiskunde gebruikt om objecten en processen te beschrijven en te verklaren. Brede vaardigheden als kritisch en probleemoplossend denken en communiceren komen nationaal en internationaal steeds meer centraal te staan.
Door de mogelijkheden die de technologie ons biedt, verandert de wijze waarop rekenen en wiskunde bedreven wordt: buiten het onderwijs heeft technologie het formele rekenen voor een groot deel overgenomen. Denk- en werkwijzen van diverse wetenschappen (zoals technische-, gedrags- en gezondheidswetenschappen) zijn gebaseerd op wiskunde. Apps en protocollen met aanbevelingen gebaseerd op data, sturen steeds vaker het handelen en het verantwoorden (bijvoorbeeld het voorschrijven van medicijnen en verantwoording van de onderwijsopbrengsten van een school). Deze toenemende hoeveelheid data en feiten in combinatie met de invloed van de (sociale) media vereisen een kritische houding en meer kennis van en inzicht in de statistiek.
Het leergebied Rekenen & Wiskunde kan vanuit verschillende invalshoeken beschouwd worden. We noemen hier het functioneel gebruik van wiskunde en de formele wiskunde. Leerlingen kunnen deze invalshoeken vanuit verschillende didactische benaderingen leren. Het onderscheid tussen functionele en formele wiskunde staat los van deze benaderingen; met elke didactische benadering kan functioneel gebruik van wiskunde en/of formele wiskunde aangeleerd worden.
De functionele invalshoek richt zich op het gebruik van wiskunde om meer gecijferd (om adequaat en autonoom om te gaan met de kwantitatieve kant van de wereld om je heen) te worden. Hieronder vallen onder andere financiële geletterdheid, factchecking en het gebruik van technologie. Bij de formele invalshoek wordt wiskunde beschouwd als een zelfstandig formeel-deductief systeem met axioma's, stellingen en standaardprocedures. Een axioma is een uitgangspunt waarvan verondersteld wordt dat ze waar is en van waaruit het formeel-deductief systeem van de wiskunde wordt opgebouwd. Om wiskunde op een bepaald niveau functioneel te kunnen gebruiken is een passend beheersingsniveau van formele wiskunde noodzakelijk. Doordat ICT zich verder ontwikkelt en meer gebruiksmogelijkheden biedt, zien we evenwel dat functioneel gebruik van wiskunde minder afhankelijk wordt van beheersing van formele wiskunde. Maar zonder beheersing van formele wiskunde is functioneel gebruik amper mogelijk. Dit is onder andere nodig om keuzes te kunnen maken voor gereedschappen, in te kunnen schatten of digitale berekeningen goed gemaakt zijn en te kunnen schatten en benaderen. Leerlingen leren rekenen en wiskunde door zich tot hun niveau te ontwikkelen in formele wiskunde én door te leren die functioneel te gebruiken.
Inhoud
Doelen van het onderwijs in Rekenen & Wiskunde
Het leergebied Rekenen & Wiskunde draagt evenals de andere leergebieden bij aan realisatie van de hoofddoelen van onderwijs: kwalificatie, socialisatie en persoonsvorming. Bij persoonsvorming valt te denken aan het vermogen analytisch te denken en de reële wereld vanuit wiskundig perspectief te beschouwen. Functioneel gebruik van wiskunde richt zich op elk van de drie hoofddoelen. Formele wiskunde richt zich met name op kwalificatie en persoonsvorming. In beroep en samenleving wordt wiskunde door de meerderheid van de bevolking functioneel gebruikt.
Op basis hiervan stellen we dat:
- alle leerlingen zich op hun eigen niveau dienen te bekwamen in het functioneel gebruik van wiskunde;
- alle leerlingen de formele wiskunde dienen te beheersen die nodig is om het bovenstaande te realiseren;
- leerlingen die meer formele wiskunde aankunnen, in de gelegenheid gesteld dienen te worden om zich hierin verder te bekwamen.
Als gevolg van deze stellingname en van wat in het voorgaande beschreven is, richt het leergebied zich op:
- verwerving van wiskundige basiskennis en –vaardigheid ('het fundament');
- verwerving van kennis van en inzicht in wiskundige concepten uit de kennisdomeinen Getallen en bewerkingen, Verhoudingen, Meten en meetkunde, Variabelen, verbanden en formules, Data, statistiek en kans en Veranderingen en benaderingen;
- verwerving van wiskundige denk- en werkwijzen: Gereedschap en technologie gebruiken, Wiskundig probleemoplossen, Abstraheren, Logisch redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren en Algoritmisch denken.
Alle leerlingen worden hierin onderwezen, ook als ze geen eindexamen wiskunde afleggen.
Via de wiskundige denk- en werkwijzen ontwikkelen leerlingen brede vaardigheden als creatief denken, kritisch denken en zelfregulatie. De wiskundige denk- en werkwijzen vormen als het ware een wiskundige inkleuring van deze brede vaardigheden. Deze kunnen niet aangeleerd worden zonder reken-wiskunde inhouden. Wij denken dat in het curriculum van Rekenen & Wiskunde zodoende invulling gegeven wordt aan de brede vaardigheden.
Curriculum.nu onderscheidt verder een viertal mondiale thema's: globalisering, duurzaamheid, technologie en gezondheid. Van deze thema's komt Technologie binnen het leergebied Rekenen & Wiskunde expliciet aan bod. De andere thema's kunnen als context dienen voor functionele wiskunde, maar kennen geen specifieke wiskundige invulling.
Zodoende kent een nieuw curriculum Rekenen & Wiskunde een duidelijk fundament, leidt het ertoe dat leerlingen de wereld vanuit een wiskundeperspectief leren te bekijken, draagt het bij aan het transfervermogen van leerlingen naar andere leergebieden, staat het maatwerk en differentiatie niet in de weg en verschaft het leerlingen plezier met rekenen en wiskunde.
Leerinhouden Rekenen & Wiskunde
Het curriculum van het leergebied Rekenen & Wiskunde kent leerinhouden die bestaan uit wiskundige kennis en wiskundige denk- en werkwijzen. De wiskundige denk- en werkwijzen worden toegepast op die wiskundige kennis. Deze wiskundige kennis is op zijn beurt ingedeeld in kennisdomeinen. Deze interne samenhang van het leergebied wordt verbeeld in figuur 1, die we het Wiskundeweb genoemd hebben. De interne samenhang van het leergebied heeft betrekking op samenhang tussen de kennisdomeinen onderling, samenhang tussen de denk- en werkwijzen onderling en samenhang tussen de kennisdomeinen en de denk- en werkwijzen. In de Toelichting wordt deze interne samenhang geïllustreerd aan de hand van enkele 'uitgewerkte voorbeelden'.
Figuur 1: Interne samenhang in het leergebied Rekenen & Wiskunde
Alle leerlingen krijgen rekenen en wiskunde aangeboden van een niveau dat bij elk van hen past en hen voldoende uitdaagt. Daarmee willen we bereiken dat leerlingen gemotiveerder raken voor het leergebied, leerlingen meer naar hun potentie gaan presteren en dat hun transfervermogen (toepassen van rekenen en wiskunde binnen en buiten het leergebied) zich ontwikkelt. Om vroege determinatie van leerlingen voor een vervolgopleiding te voorkomen, worden in het primair onderwijs alle relevante inhouden, zowel kennis als denk- en werkwijzen, aangeboden aan alle leerlingen. Differentiatie kan daar plaatsvinden op bijvoorbeeld complexiteit en/of niveau van denken en handelen. In de onderbouw van het voortgezet onderwijs zal er sprake zijn van differentiatie op inhouden, niet in de laatste plaats omdat de onderbouw van havo en vwo een leerjaar meer omvat dan in het vmbo. Verder zal - aansluitend bij de potentie van leerlingen - het reken- en wiskundeonderwijs in havo en vwo meer formeel van karakter zijn en in het vmbo meer functioneel. Voor (in potentie) beter presterende leerlingen valt verder te denken aan ontwikkeling van extra referentieniveaus, aan het vmbo-vak wiskunde plus en aan wiskunde D in havo en vwo.
Positie
Het leergebied Rekenen & Wiskunde kent een aantal kenmerken die specifiek zijn voor het leergebied en die consequenties hebben voor het curriculum:
Lineair karakter van wiskunde
Wiskunde is een lineair of stapelvak. Als iemand iets niet beheerst, dan kan hij dat wat daarop volgt niet leren. Dat heeft als consequentie dat er voldoende aandacht moet zijn voor automatiseren en memoriseren van basiskennis en –vaardigheden. Bovendien moeten basiskennis en –vaardigheden onderhouden worden.
Doorlopende leer- en 'opstroomlijnen'
In het leergebied kunnen doorlopende leerlijnen en 'opstroomlijnen' onderscheiden worden. In de huidige situatie valt het begin of het einde van een leerlijn soms samen met de overgang van primair naar voortgezet onderwijs. Dit is een ongewenste situatie, die opgelost wordt door middel van 'zwaluwstaarten': een onderwerp uit het voortgezet onderwijs wordt al geïntroduceerd in het primair onderwijs, of: een onderwerp dat nu in het primair onderwijs afgesloten wordt, krijgt een (kleine) doorloop in het voortgezet onderwijs. Naast zwaluwstaarten draagt gebruik van dezelfde vaktaal in primair en voortgezet onderwijs bij aan de verbetering van doorlopende leer- en 'opstroomlijnen'.
Reken- en wiskundebewust vakonderwijs
Leerlingen verwerven wiskundekennis en wiskundige denk- werkwijzen in de wiskundeles en gebruiken die daarbuiten functioneel, bijvoorbeeld bij andere leergebieden. Andere leergebieden kunnen contexten leveren waarin wiskundige denk- en werkwijzen geleerd en toegepast kunnen worden. Om dit te realiseren is het nodig dat wiskunde-inhouden aangeleerd worden voordat andere vakken ze gebruiken.
Afstemming op scholen hieromtrent is van belang. We zijn ons ervan bewust dat dit reken- en wiskundebewust vakonderwijs verder reikt dan alleen het curriculum, denk bijvoorbeeld in afstemming tussen en professionalisering van leraren, maar we menen dat deze invulling van samenhang met andere leergebieden veelbelovend is.
De rol van Informatie- en communicatietechnologie (ICT)
Ten slotte zijn er digitale toepassingen die veel wiskundig handwerk over kunnen nemen. Dit heeft gevolgen voor het soort rekenen en wiskunde dat leerlingen leren. Leerlingen kunnen conceptuele kennis verwerven zonder dat direct in verband te hoeven brengen met procedurele kennis. Te denken valt aan begripsvorming met betrekking tot breuken zonder direct breukbewerkingen te behandelen. Het is belangrijk dat hierdoor geen hiaten in de leer- en opstroomlijnen ontstaan.
Grote opdrachten (essenties van het leergebied)
Klik op een knop om de inhoud van een grote opdracht te zien. Ook kunt u dan de daarbij behorende bouwstenen bekijken om te zien hoe dit is uitgewerkt voor de verschillende fasen in het onderwijs. Als u niets aanklikt, ziet u hieronder alle bouwstenen voor dit leergebied.